题目内容

椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为 $数学公式$ ．点P（1， $数学公式$ ）、A、B在椭圆E上，且 $数学公式$ + $数学公式$ =m $数学公式$ （m∈R）．
（1）求椭圆E的方程及直线AB的斜率；
（2）当m=-3时，证明原点O是△PAB的重心，并求直线AB的方程．

解：（1）设椭圆方程为 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）
∵椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，点P（1， $\text{[math]}$ ）在椭圆E上，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$
∴a²=4，b²=3，
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ ；
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由 $\text{[math]}$ 得（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1， $\text{[math]}$ ），即 $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
两式相减得 $\text{[math]}$ ；
（2）由（1）知，点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐标满足 $\text{[math]}$ ，
点P的坐标为（1， $\text{[math]}$ ），m=-3，于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+ $\text{[math]}$ =3+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =0，
因此△PAB的重心坐标为（0，0）．即原点是△PAB的重心．
∵x₁+x₂=-1，y₁+y₂=- $\text{[math]}$ ，∴AB中点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，两式相减得 $\text{[math]}$ ；
∴直线AB的方程为y+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （x+ $\text{[math]}$ ），即x+2y+2=0．
分析：（1）设椭圆方程为 $\text{[math]}$ （a＞b＞0），利用椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，点P（1， $\text{[math]}$ ）在椭圆E上，可求几何量，从而可得椭圆方程，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由 $\text{[math]}$ ，结合点差法，即可求得直线AB的斜率；
（2）证明△PAB的重心坐标为（0，0）即可，确定AB中点坐标，点差法求直线AB的斜率，即可求得直线AB的方程．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查点差法求直线的斜率，正确运用椭圆方程是关键．