题目内容

如图，四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD， $数学公式$ ．
（1）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小；
（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小．

解：（1）以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，
∵四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥底面ABCD， $\text{[math]}$ ，
∴SD= $\text{[math]}$ ，
∴S=（0，0，1），D（0，0，0），B（1，1，0），A（1，0，0）， $\text{[math]}$ ，
设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为α，
异面直线DM与SB所成角为θ，
cosθ=|cosα|=0，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴异面直线DM与SB所成角的大小为 $\text{[math]}$ ．
（2）平面ASD的一个法向量 $\text{[math]}$ ，
设平面BSC的一个法向量 $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
令y=1，则 $\text{[math]}$ ，
设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为β，则 $\text{[math]}$ ，
由图形得，面ASD与面BSC所成二面角的大小为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1） $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为α，异面直线DM与SB所成角为θ，cosθ=|cosα|=0，由此能求出异面直线DM与SB所成角的大小．
（2）平面ASD的一个法向量 $\text{[math]}$ ，设平面BSC的一个法向量 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为β，则 $\text{[math]}$ ，由此能求出面ASD与面BSC所成二面角的大小．
点评：本题考查异面直线所成角的大小的求解和二面角的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．