Question

⊙O₁和△BCD的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ．
（Ⅰ）把⊙O₁和⊙O₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过⊙O₁，⊙O₂交点的直线的直角坐标方程．

Answer 1

分析：（I）  先利用三角函数的差角公式展开曲线C的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．
（II）先在直角坐标系中算出中点P的坐标，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线OP的极坐标方程即可．

解答：解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，
两坐标系中取相同的长度单位．
（Ⅰ）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ．
所以x²+y²=4x．
即x²+y²-4x=0为⊙O₁的直角坐标方程．
同理x²+y²+4y=0为⊙O₂的直角坐标方程．
（Ⅱ）由

x2+y2-4x=0 x2+y2+4y=0

解得

x1=0 y1=0

x2=2 y2=-2

．
即⊙O₁，⊙O₂交于点（0，0）和（2，-2）．
过交点的直线的直角坐标方程为y=-x．

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．