Question

给出下列4个命题：
①保持函数y=sin(2x+

π

3

)图象的纵坐标不变，将横坐标扩大为原来的2倍，得到的图象的解析式为y=sin(x+

π

6

)．
②在区间[0，

π

2

)上，x₀是y=tanx的图象与y=cosx的图象的交点的横坐标，则

π

6

＜x0＜

π

4

．
③在平面直角坐标系中，取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量

i

，

j

作为基底，则四个向量

i

+2

j

，

2

i

+

3

j

，

3

i

-

2

j

，2

i

-

j

的坐标表示的点共圆．
④方程cos³x-sin³x=1的解集为{x|x=2kπ-

π

2

，k∈Z}．
其中正确的命题的序号为

 

．

Answer 1

分析：利用函数的伸缩变换判定①的正误；
利用公式的单调性，判定②的正误；
找出四个向量到原点的距离相等即可判定③的正误；
利用特殊值即可判定④的正误；

解答：解：①保持函数y=sin(2x+

π

3

)图象的纵坐标不变，将横坐标扩大为原来的2倍，得到的图象的解析式为y=sin(x+

π

3

)．所以①不正确；
②在区间[0，

π

2

)上，x₀是y=tanx的图象与y=cosx的图象的交点的横坐标，则

π

6

＜x0＜

π

4

，因为x=

π

4

时，tanx＞cosx；x=

π

6

时，tanx＜cosx，所以②正确；
③在平面直角坐标系中，取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量

i

，

j

作为基底，则四个向量

i

+2

j

，

2

i

+

3

j

，

3

i

-

2

j

，2

i

-

j

的坐标表示的点，到原点的距离相等，所以四点共圆．正确；
④方程cos³x-sin³x=1的解集为{x|x=2kπ-

π

2

，k∈Z}．显然x=0是方程的解，所以④不正确；
故答案为：②③．

点评：本题是基础题，考查三角函数的伸缩变换，函数图象的交点问题，三角函数方程的解的知识，四点共圆知识，考查计算能力，判定推理能力．