Question

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2，c=2$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）若A=$\frac{5π}{6}$，求a；
（Ⅱ）若C=$\frac{π}{2}$+A，求角A．

Answer 1

分析 （I）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，代入解出即可．
（II）由C=$\frac{π}{2}$+A，可得$B=π-（\frac{π}{2}+A）-A$=$\frac{π}{2}-2A$，由正弦定理可得：$\frac{2}{sin（\frac{π}{2}-2A）}=\frac{2\sqrt{3}}{sin（\frac{π}{2}+A）}$，化简解出即可．

解答 解：（I）由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=${2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}-2×2×2\sqrt{3}cos\frac{5π}{6}$=28，
解得a=2$\sqrt{7}$．
（II）∵C=$\frac{π}{2}$+A，∴$B=π-（\frac{π}{2}+A）-A$=$\frac{π}{2}-2A$，
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sin（\frac{π}{2}+A）}$，
∴$\frac{2}{sin（\frac{π}{2}-2A）}=\frac{2\sqrt{3}}{sin（\frac{π}{2}+A）}$，
∴$\sqrt{3}cos2A=cosA$，$cosA=\sqrt{3}（2co{s}^{2}A-1）$，
解得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或$-\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵A为锐角，∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$A=\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了余弦定理、正弦定理、倍角公式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．