题目内容

若实数a，b，c，d满足（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为（　　）
A．
2
B．2C．2
2
D．8
∵实数a、b、c、d满足：
（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，
∴b+a2-3lna=0，设b=y，a=x，
则有：y=3lnx-x2
c-d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，
∴（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值
对曲线y=3lnx-x2求导：y'（x）=
3
x
-2x，
与y=x+2平行的切线斜率k=1=
3
x
-2x，
解得：x=1或x=-
3
2
（舍）
把x=1代入y=3lnx-x2，得：y=-1，
即切点为（1，-1）
切点到直线y=x+2的距离：
|1+1+2|
2
=2
2

∴（a-c）2+（b-d）2的最小值就是8．
故选：D．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2（a、b∈R）．
（1）当a=0，b=-3时，求函数f（x）在[-1，3]上的最大值；
（2）若函数f（x）在x=1处有极值10，求f（x）的解析式；
（3）当a=-2时，若函数f（x）在[2，+∞）上是单调增函数，求b的取值范围．
若a1x≤sinx≤a2x对任意的x∈[0，
π
2
]都成立，则a2-a1的最小值为______．
如图，A，B是函数y=ax（a＞1）在y轴右侧图象上的两点，分别过A，B作y轴的垂线与y轴交于E，F两点，与函数y=ex的图象交于C，D两点，且A是CE的中点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当直线BC与y轴平行时，设B点的横坐标为x，四边形ABDC的面积为f（x），求f（x）的解析式；
（Ⅲ）若对任意的正数b，关于x的不等式
2f(x)
ex-1
＜3exln
xb
em
在区间[1，e]上恒成立，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=x2+
2
x
，g(x)=(
1
2
)x+m，若?x1∈[1，2]，?x2∈[-1，1]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是______．
已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值；
（Ⅲ）设g（x）=（1-a）x，若存在x0∈[
1
e
，e]，使得f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；
（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值．
[2014·琼海模拟]如图所示，则由两条曲线y＝－x2，x2＝－4y及直线y＝－1所围成图形的面积为________．
等于（    ）
A．B．2C．-2D．+2

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