Question

已知等差数列{a_n}的公差为-1，且a₂+a₇+a₁₂=-6，
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n；
（2）将数列{a_n}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b_n}的前3项，记{b_n}的前n项和为T_n，若存在m∈N^*，使对任意n∈N^*总有S_n＜T_m+λ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用a₂+a₇+a₁₂=-6以及等差数列的性质，求出a₇=-2，再把公差代入即可求出首项，以及通项公式和前n项和S_n；
（2）先由已知求出等比数列的首项和公比，代入求和公式得T_m，并利用函数的单调性求出其范围；再利用（1）的结论以及S_n＜T_m+λ恒成立，即可求实数λ的取值范围．

解答：解：（1）由a₂+a₇+a₁₂=-6得a₇=-2，
所以a₁=4（4分）
∴a_n=5-n，
从而Sn=

n(9-n)

2

（6分）
（2）由题意知b₁=4，b₂=2，b₃=1（18分）
设等比数列b_n的公比为q，则q=

b2

b1

=

1

2

，
∴Tm=

4[1-( 1 2 )m]

1- 1 2

=8[1-(

1

2

)m]
∵(

1

2

)m随m递减，
∴T_m为递增数列，得4≤T_m＜8（10分）
又Sn=

n(9-n)

2

=-

1

2

(n2-9n)=-

1

2

[(n-

9

2

)2-

81

4

]，
故（S_n）_max=S₄=S₅=10，（11分）
若存在m∈N^*，使对任意n∈N^*总有S_n＜T_m+λ
则10＜8+λ，得λ＞2（14分）

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的基础知识，以及数列与函数的综合问题，属于基础知识的大综合．