Question

7．在△ABC中，2acosB=c，cos2A=1-$\sqrt{2}$sinBsinC，则△ABC是等腰直角三角形．

Answer 1

分析 根据正弦定理，结合三角形的倍角公式以及诱导公式进行化简即可．

解答 解：由2acosB=c，得2sinAcosB=sinC，
即2sinAcosB=sin（A+B），
则2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，
即sinAcosB-cosAsinB=0，
即sin（A-B）=0，
即A=B，
∵cos2A=1-$\sqrt{2}$sinBsinC，
∴1-2sin²A=1-$\sqrt{2}$sinBsinC，
即2sin²A=$\sqrt{2}$sinAsinC，
则2sinA=$\sqrt{2}$sinC=$\sqrt{2}$sin（π-2A）=$\sqrt{2}$sin（π-2A）=）=$\sqrt{2}$sin2A=2$\sqrt{2}$sinAcosA，
即cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故A=$\frac{π}{4}$，B=A=$\frac{π}{4}$，C=$\frac{π}{2}$，
故三角形为等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角．

点评 本题主要考查三角形的形状的判断，根据正弦定理以及三角函数的诱导公式进行化简是解决本题的关键．