题目内容

已知 $数学公式$ ，M、N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上任意一点，且直线PM，PN的斜率分别为k₁、k₂（k₁k₂≠0），若|k₁|+|k₂|的最小值为1，则双曲线的离心率为________．

$\text{[math]}$
分析：先求出K_PM•K_PN= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再由|k₁|+|k₂|≥2 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ =1，即b= $\text{[math]}$ ，
由此求出e= $\text{[math]}$ 的值．
解答：设M（p，q），N（-p，-q），P（s，t），则有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴k₁•k₂=K_PM•K_PN= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
又|k₁|+|k₂|≥2 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，由题意可得 2• $\text{[math]}$ =1，∴b= $\text{[math]}$ ，
∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，基本不等式的应用，得到 K_PM•K_PN= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，是解题的关键．

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设双曲线C：

=1(a＞0，b＞0)，点A、B分别为双曲线C实轴的左端点和虚轴的上端点，点F₁、F₂分别为双曲线C的左、右焦点，点M、N是双曲线C的右支上不同两点，点Q为线段MN的中点．已知在双曲线C上存在一点P，使得

．
（Ⅰ）求双曲线C的离心率；
（Ⅱ）设a为正常数，若点Q在直线y=2x上，求直线MN在y轴上的截距的取值范围．

=1(a＞0，b＞0)，M、N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上任意一点，且直线PM，PN的斜率分别为k₁、k₂（k₁k₂≠0），若|k₁|+|k₂|的最小值为1，则双曲线的离心率为

（2009•宝山区一模）已知点F₁，F₂是双曲线M：

=1的左右焦点，其渐近线为y=±

x，且右顶点到左焦点的距离为3．
（1）求双曲线M的方程；
（2）过F₂的直线l与M相交于A、B两点，直线l的法向量为

=(k，-1)，(k＞0)，且

=0，求k的值；
（3）在（2）的条件下，若双曲线M在第四象限的部分存在一点C满足

，求m的值及△ABC的面积S_△ABC．

，M、N是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上任意一点，且直线PM，PN的斜率分别为k₁、k₂（k₁k₂≠0），若|k₁|+|k₂|的最小值为1，则双曲线的离心率为．