Question

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本与瓶子的半径r的平方成正比，且r=1cm时，制造成本为0.8π分．已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商制作的瓶子的最大半径为6cm，设每瓶饮料的利润为y分，（半径r的单位是cm）．
（1）写出出售每瓶饮料可得利润的关系式；
（2）求制造商制造并出售100瓶该饮料所获得的最大利润（结果用含π的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）设瓶子的制造成本与瓶子的半径r的平方成正比的比例系数等于k，根据r=1cm时，制造成本为0.8π分求出k的值，从而得到每瓶饮料可得利润的关系式；
（2）利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最大值，最后将每瓶饮料可得最大利润乘以100即可求出所求．

解答：解：（1）设瓶子的制造成本与瓶子的半径r的平方成正比的比例系数等于k，
则瓶子的制造成本为kr²，
∵r=1cm时，制造成本为0.8π分，
∴k=0.8π，即瓶子的制造成本为0.8πr²，
由于瓶子的半径为rcm，每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商制作的瓶子的最大半径为6cm，
∴每瓶饮料的利润是y=f（r）=0.2×

4

3

πr³-0.8πr²，0＜r≤6，
（2）令f′（r）=0.8πr²-0.8πr=0，则r=1，
当r∈（0，1）时，f′（r）＜0；
当r∈（1，6）时，f′（r）＞0．
∴函数y=f（r）在（0，1）上单调递减，在（1，6）上单调递增，
∴r=6时，每瓶饮料的利润最大，则制造商制造并出售100瓶该饮料所获得的最大利润为100×28.8π=2880π分．

点评：本题考查函数模型的建立，考查导数知识的运用，确定函数的模型是解题的关键．同时考查了分析问题的能力，属于中档题．