题目内容

已知f（x）=（x-2）•|x+1|若关于x的方程f（x）=x+t有三个不同的实数解，则实数t的取值范围（　　）

A．（-1，1]

B．[-3，2）

C．（-3，1）

D．（-1，2）

分析：分别作出函数f（x）和g（x）=x+t的图象，利用图象确定两个函数满足有三个不同的实数解的等价条件即可求t的取值范围．

解答：

解：当x≥-1时，f（x）=（x-2）（x+1）=x²-x-2，
当x＜-1时，f（x）=-（x-2）（x+1）=-x²+x+2，
设g（x）=x+t，∴要使方程f（x）=x+t有三个不同的实数解，即函数f（x）和g（x）=x+t有3个不同的交点．
作出函数f（x）的图象，由图象可知，
当直线y=x+t经过点（-1，0）时，两个函数有两个交点，此时t=1．
当x＞-1时，当直线y=x+t与抛物线相切时，两个函数有两个交点，
由f（x）=x²-x-2=x+t得，x²-2x-2-t=0，
判别式△=4-4（-2-t）=0，即4+8+4t=0，∴t=-3，
此时直线y=x-3与抛物线相切，
∴要使函数f（x）和g（x）=x+t有3个不同的交点，
则-3＜t＜1，
即数t的取值范围是（-3，1），
故选：C．

点评：本题主要考查方程根的个数的应用，将方程问题转化为两个函数图象交点的问题是解答本题的关键．利用数形结合是解决此类问题的基本方法．

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．
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．
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