Question

8．长方体的一条对角线与两个侧面所成的角为30°、45°，则它与另一个平面所成的角为30°．

Answer 1

分析 设长方体对角线为AC₁，∠C₁AD₁=30°，∠C₁AB₁=45°，可求C₁D₁=$\frac{1}{2}$AC₁，B₁C₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC₁，AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC₁，在RT△C₁CA中由cos∠C₁AC=$\frac{AC}{A{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可求得∠C₁AC的值．

解答 解：设长方体对角线为AC₁，∠C₁AD₁=30°，∠C₁AB₁=45°，
在RT△C₁D₁A中：sin∠C₁AD₁=$\frac{{C}_{1}{D}_{1}}{A{C}_{1}}$，即C₁D₁=AC₁•sin30°=$\frac{1}{2}$AC₁，
在RT△C1B₁A中：sin∠C₁AB₁=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{A{C}_{1}}$，即B₁C₁=AC₁•sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC₁，
在矩形A₁B₁C₁D₁中：对角线B₁D₁=$\sqrt{{C}_{1}{{D}_{1}}^{2}+{B}_{1}{{C}_{1}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC₁，
则对角线A₁C₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC₁，
则对角线AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC₁，
在RT△C₁CA中：cos∠C₁AC=$\frac{AC}{A{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则∠C₁AC=30°，
∴它与过此顶点的第三个平面所成角的大小为30°．

点评 本题主要考查了棱柱的结构特征，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力和推论论证能力，属于基本知识的考查．