(2013•虹口区一模)如果函数y=f(x)的定义域为R.对于定义域内的任意x.存在实数a使得f成立.则称此函数具有“P(a)性质．(1)判断函数y=sinx是否具有“P性质求出所有a的值,若不具有“P(a)性质 .请说明理由．具有“P(0)性质 .且当x≤0时f2.求y=f(x)在[0.1]上的最大值．具有“P(±1)性质 .且当-12≤x� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2013•虹口区一模）如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（-x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．
（1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”求出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由．
（2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，且当x≤0时f（x）=（x+m）²，求y=f（x）在[0，1]上的最大值．
（3）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当-

≤x≤

时，g（x）=|x|．若y=g（x）与y=mx交点个数为2013个，求m的值．

分析：（1）根据题意先检验sin（x+a）=sin（-x）是否成立即可检验y=sinx是否具有“P（a）性质”
（2）由y=f（x）具有“P（0）性质可得f（x）=f（-x），结合x≤0时的函数解析式可求x≥0的函数解析式，结合m的范围判断函数y=f（x）在[0，1]上的单调性即可求解函数的最值
（3）由题意可得g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），据此递推关系可推断函数y=g（x）的周期，根据交点周期性出现的规律即可求解满足条件的m

解答：解：（1）由sin（x+a）=sin（-x）得sin（x+a）=-sinx，
根据诱导公式得a=2kπ+π（k∈Z）．
∴y=sinx具有“P（a）性质”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．…（4分）
（2）∵y=f（x）具有“P（0）性质”，
∴f（x）=f（-x）．
设x≥0，则-x≤0，∴f（x）=f（-x）=（-x+m）²=（x-m）²∴f(x)=

(x+m)2&x≤0

(x-m)2&x≥0

…（6分）
当m≤0时，∵y=f（x）在[0，1]递增，
∴x=1时ymax=(1-m)2
当0＜m＜

时，y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，且f（0）=m²＜f（1）=（1-m）²，
∴x=1时ymax=(1-m)2
当m≥

时，
∵y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，且f（0）=m²≥f（1）=（1-m）²，
∴x=0时ymax=m2
综上所述：当m＜

时，ymax=f(1)=(1-m)2；
当m≥

时，ymax=f(0)=m2…（11分）
（3）∵y=g（x）具有“P（±1）性质”，
∴g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），
∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（-1-x）=g（x），从而得到y=g（x）是以2为周期的函数．
又设

≤x≤

，则-

≤1-x≤

，
g（x）=g（x-2）=g（-1+x-1）=g（-x+1）=|-x+1|=|x-1|=g（x-1）．
再设n-

≤x≤n+