题目内容

平面四边形ABCD中,AB=
3
,AD=DC=CB=1,△ABD和△BCD的面积分别为S,T,则S2+T2的最大值是
7
8
7
8
分析:先利用余弦定理求出cosA和cosC的关系,再用含角A,C的面积公式求出S2+T2,进而转化为cosA的二次函数,即可求出最大值.
解答:解:由题意,S=
3
2
sinA,T=
1
2
sinC

BD2=4-2
3
cosA=2-2cosC

cosC=
3
cosA-1

∴S2+T2=
3
4
sin2A+
1
4
sin2C
=
3
4
sin2A+
1
4
[1-(
3
cosA-1)
2
 ]

=-
3
2
cos2A+
3
2
cosA+
3
4
=-
3
2
(cosA-
3
6
)
2
+
7
8

cosA=
3
6
时,S2+T2的最大值是
7
8

故答案为:
7
8
点评:本题以平面四边形为载体,考查余弦定理的运用,考查三角函数,解题的关键是转化为cosA的二次函数.
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