Question

对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数c，使得对任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c，且对任意x₂∈D，当x₂∉[a，b]时，f（x₂）＞c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平底型”函数．
（1）判断函数f₁（x）=|x-1|+|x-2|和f₂（x）=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（2）若函数g(x)=x+

x2+2x+n

是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，求n的值．
（3）设f（x）是（1）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对于函数f₁（x）=|x-1|+|x-2|，当x∈[1，2]时，f₁（x）=1，当x∉[1，2]时，f₁（x）＞|（x-1）-（x-2）|=1恒成立，f₁（x）可以判断了；同理可判断f₂（x）不是“平底型”函数；
（2）首先由于恒有g（x）=c，所以根号里的式子必须要能开方开出来，即为完全平方，可求得n=1；
（3）由于f（x）是“平底型”函数，不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，只需（|t-k|+|t+k|）_min≥|k|•f（x）即可，而（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|，问题解决．

解答：解：（1）对于函数f₁（x）=|x-1|+|x-2|，当x∈[1，2]时，f₁（x）=1．
    当x＜1或x＞2时，f₁（x）＞|（x-1）-（x-2）|=1恒成立，
    故f₁（x）是“平底型”函数．  （2分）
    对于函数f₂（x）=x+|x-2|，
    当x∈（-∞，2]时，f₂（x）=2；
    当x∈（2，+∞）时，f₂（x）=2x-2＞2．
    所以不存在闭区间[a，b]，使当x∉[a，b]时，f（x）＞2恒成立．
    故f₂（x）不是“平底型”函数．           （4分）
   （2）因为函数g(x)=x+

x2+2x+n

是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，
       则存在区间[a，b]⊆[-2，+∞）和常数c，
      使得g(x)=x+

x2+2x+n

=c恒成立．
      所以x²+2x+n=（x-c）²恒成立，
∴c=-1，n=1，g（x）=x+|x+1|．
　　　当x∈[-2，-1]时，g（x）=-1，当x∈（-1，+∞）时，g（x）=2x+1＞-1恒成立．
　　　此时，g（x）是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，n=1为所求．
　（3）若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，
　　　则（|t-k|+|t+k|）_min≥|k|•f（x）．
　　　因为（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|，
　　　所以2|k|≥|k|•f（x）．又k≠0，则f（x）≤2．
　　　则|x-1|+|x-2|≤2，解得

1

2

≤x≤

5

2

．
　　故实数x的范围是[

1

2

，

5

2

]．

点评：本题考查函数恒成立的问题，解决本题的灵魂在于“转化”，将含有绝对值的问题转化为不含绝对值的问题，使问题在实施“化难为易”、“化生为熟”中得以解决．