Question

3．已知函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求证：函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增；
（3）求函数f（x）在[1，3]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据已知中函数的定义域关于原点对称，故我们只要判断f（-x）与f（x）的关系，进而根据函数奇偶性的定义，即可判断出f（x）的奇偶性；
（2）利用函数单调性的定义进行证明即可．
（3）结合函数单调性的性质，求出函数的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）函数f（x）为奇函数，理由如下：
∵函数$f（x）=x+\frac{4}{x}$（x∈R且x≠0）
∴$f（-x）=-x-\frac{4}{x}$=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数，
（2）证明，设0＜x₁＜x₂＜2，
则f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{4}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{4}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）+$\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）•（1-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵0＜x₁＜x₂＜2，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，即f（x₁）＞f（x₂），即函数f（x）为减函数．
若2＜x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，即f（x₁）＜f（x₂），即函数f（x）为增函数．
（3）由（2）知，函数f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增；
故当x=2时，函数取得最小值f（2）=2+$\frac{4}{2}$=2+2=4，
∵f（1）=1+4=5，f（3）=3+$\frac{4}{3}$=$\frac{13}{3}$＜5，
∴函数的最大值为5，
故4≤f（x）≤5，
即函数的值域为[4，5]．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，其中熟练掌握函数单调性和奇偶性的方法和步骤是解答此类问题的关键．