题目内容
【题目】设l为曲线C:在点
处的切线.
(1)求l的方程;
(2)证明:除切点之外,曲线C在直线l的下方;
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
设
(
),求函数
的导数
,由导数的几何意义知 ,
即为曲线C:
在点
处的切线的斜率,代入点斜式即可求解;
构造函数
(
),则除切点
之外,曲线C在直线l的下方等价于
(
,
),求函数
的导数
,利用
的符号判断函数
的单调性,求出
时,函数
的最值即可.
设
(
),则
(
),
从而曲线在点处的切线斜率为
,
于是切线方程为,即
,
因此直线l的方程为.
证明:令
(
),则
则除切点之外,曲线C在直线l的下方等价于
(
,
).
满足
,且
(
,
)
当时,
,
,从而
,于是
在
单调递减;
当时,
,
,从而
,于是
在
单调递增.
因此函数有极小值即最小值
.
所以函数对任意
且
恒成立,
即除切点之外,曲线C在直线l的下方.
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练习册系列答案
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年份x | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
足球特色学校y(百个) | 0.30 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.70 |
(1)根据上表数据,计算y与x的相关系数r,并说明y与x的线性相关性强弱.
(已知:,则认为y与x线性相关性很强;
,则认为y与x线性相关性一般;
,则认为y与x线性相关性较):
(2)求y关于x的线性回归方程,并预测A地区2020年足球特色学校的个数(精确到个).
参考公式和数据:,
,
.