题目内容

已知两个动点A，B和一个定点P(
3
，
3
2
)均在抛物线x2=2py上，设F为抛物线的焦点，Q为抛物线对称轴上一点，若|
FA
| ， |
FP
| ， |
FB
|成等差数列，且(
QA
+
1
2
AB
)•
AB
=0（A，B与P不重合）．
（1）求证：线段AB的中点在直线y=
3
2
上；
（2）求点Q的纵坐标；
（3）求|
AB
|的取值范围．
分析：（1）由P(
3
，
3
2
)在抛物线x2=2py上，可求p，由|
FA
| ， |
FP
| ， |
FB
|成等差数列，可得2|
FP
|=|
FA
| + |
FB
|，利用坐标表示可证
（2）由(
QA
+
1
2
AB
)•
AB
=0，即
QM
•
AB
=0，利用坐标表示及点A，B满足抛物线的方程联立可求
（3）设M(x0，
3
2
)，则可得kAB=
y2-y1
x2-x1
=
x1+x2
2
=x0，从而有AB：y-
3
2
=x0(x-x0)，代入x2=2py，整理得x2-2x0x+2x02-3=0，结合方程的性质及|
AB
|=
1+
x
2
0
|x2-x1|=
1+
x
2
0
12-4
x
2
0
=2
4-(
x
2
0
-1)2
，可求
解答：解：（1）P(
3
，
3
2
)在抛物线x2=2py上，所以3=2p×
3
2
，所以p=1．
设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为|
FA
| ， |
FP
| ， |
FB
|成等差数列，
所以2|
FP
|=|
FA
| + |
FB
|，所以2(
3
2
+
p
2
)=(y1+
p
2
)+(y2+
p
2
)，所以
y1+y2
2
=
3
2
，
即线段AB的中点在直线y=
3
2
上． …（2分）
（2）设AB的中点为M，则M(
x1+x2
2
，
y1+y2
2
)，(
QA
+
1
2
AB
)•
AB
=0，即
QM
•
AB
=0，(
x1+x2
2
，
y1+y2
2
-yQ)•(x2-x1，y2-y1)=0，（x1+x2）（x2-x1）+（y1+y2-2yQ）（y2-y1）
=0，x22-x12+（y1+y2-2yQ）（y2-y1）=0，…（4分）
又x12=2y1，x22=2y2，所以2（y2-y1）+（y1+y2-2yQ）（y2-y1）=0，
依题意，y1≠y2，所以y1+y2-2yQ+2=0，yQ=
y1+y2
2
+1=
5
2
．…（6分）
（3）设M(x0，
3
2
)，kAB=
y2-y1
x2-x1
=
x1+x2
2
=x0，所以AB：y-
3
2
=x0(x-x0)，
代入x2=2py，得x2-2x0x+2x02-3=0…（*）
由△＞0，得12-4x02＞0，即x02＜3，注意到A、B与P不重合，
所以0＜x02＜3，…（8分）
|
AB
|=
1+
x
2
0
|x2-x1|=
1+
x
2
0
12-4
x
2
0
=2
4-(
x
2
0
-1)2
，
结合0＜x02＜3，|
AB
|∈(0，4]．即|
AB
|的取值范围为（0，4]．…（10分）
点评：本题主要考查了；利用抛物线的性质求解抛物线的方程，解决（1）的关键是根据抛物线的定义写出FA，FB，FP，而处理直线与曲线的位置关系的问题时．在联立方程后，要主要对方程判别式的限制条件的考虑
练习册系列答案
相关题目

已知两个动点A、B和一个定点上（A、B与M不重合）.设F为抛物线的焦点，Q为对称轴上一点，若，且

成等差数列.

   （I）求的坐标；

   （II）若，A、B两点在抛物线准线上的射影分别为A1、B1，求四边形ABB1A1面积的取值范围.

已知两个动点A、B和一个定点上（A、B与M不重合）.设F为抛物线的焦点，Q为对称轴上一点，若，

且成等差数列.

   （I）求的坐标；

   （II）若，A、B两点在抛物线准线上的射影分别为A1、B1，求四边形ABB1A1面积的取值范围.
已知两个动点A，B和一个定点均在抛物线x2=2py上，设F为抛物线的焦点，Q为抛物线对称轴上一点，若成等差数列，且（A，B与P不重合）．
（1）求证：线段AB的中点在直线上；
（2）求点Q的纵坐标；
（3）求的取值范围．

（08年哈三中理）       已知两个动点A、B和一个定点均在抛物线上（A、B与M不重合）。设F为抛物线的焦点，Q为对称轴上一点，或，且成等差数列。

（1）求的坐标；

（2）若A、B两点在抛物线准线上的射影分别为，求四边形ABB1A1面积的取值范围。

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