Question

一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．试求出该考生：
（Ⅰ）得60分的概率；（Ⅱ）得多少分的可能性最大？
（Ⅲ）所得分数ξ的数学期望（用小数表示，精确到0．k^s*5#u01）．
（文科）投掷一个质地均匀，每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是0，两个面的数字是2，两个面的数字是4．将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．
（Ⅰ）求点P落在区域C：x²+y²≤10上的概率；
（Ⅱ）若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A，“有一道题可判断一个选项是错误”选对的为事件B，“有一道题不理解题意”选对的为事件C，P(A)=

1

2

，P(B)=

1

3

，P(C)=

1

4

，由此能求出得60分的概率．
（Ⅱ）通过计算知得45分或50分的可能性最大．
（Ⅲ）Eξ=40×

6

48

+(45+50)×

17

48

+55×

7

48

+60×

1

48

=

575

12

≈47.92．
（文）（Ⅰ）点P的坐标有9种，其中落在区域C：x²+y²≤10上的点P的坐标有4种．由此能求出点P落在区域C：x²+y²≤10上的概率．
（Ⅱ）区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10π，由此能求出豆子落在区域M上的概率．

解答：解：（Ⅰ）设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A，“有一道题可判断一个选项是错误”选对的为事件B，“有一道题不理解题意”选对的为事件C，∴P(A)=

1

2

，P(B)=

1

3

，P(C)=

1

4

，∴得60分的概率为P=

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

48

．（4分）
（Ⅱ）得45分或50分的可能性最大．
得40分的概率为：P=

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

8

；
得45分的概率为：P=

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

=

17

48

；
得50分的概率为：P=

1

2

×

1

2

×

2

3

×

3

4

+

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

+

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

=

17

48

；
得55分的概率为：P=

C

1 2

×

1

2

×

1

2

×

1

3

×

1

4

+

1

2

×

1

2

×

2

3

×

1

4

+

1

2

×

1

2

×

1

3

×

3

4

=

7

48

．（8分）
（Ⅲ）Eξ=40×

6

48

+(45+50)×

17

48

+55×

7

48

+60×

1

48

=

575

12

≈47.92．（12分）
（文答案）解：（Ⅰ）点P的坐标有：
（0，0），（0，2），（0，4），（2，0），（2，2），（2，4），（4，0），（4，2），（4，4），共9种，其中落在区域C：x²+y²≤10上的点P的坐标有：（0，0），（0，2），（2，0），（2，2），共4种．故点P落在区域C：x2+y2≤10上的概率为

4

9

．（6分）
（Ⅱ）区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10π，则豆子落在区域M上的概率为

2

5π

．（12分）

点评：本题考查概率的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意乘法公式的灵活运用．