Question

已知椭圆C：的离心率为，过坐标原点O且斜率为的直线l与C相交于A，B，|AB|=．
（1）求a，b的值；
（2）若动圆（x-m）²+y²=1与椭圆C和直线l都没有公共点，试求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，l：，设A（2t，t）、B（-2t，t）（t＞0），由|AB|=得20t²=40，，由此入手可解得a=4，b=2．
（2）由题意知3x²-8mx+4m²+12=0，动圆与椭圆没有公共点，由此知|m|＜3或|m|＞5．再由动圆（x-m）²+y²=1与直线没有公共点．由此可得m的取值范围．
解答：解：（1）依题意，l：（1分）
不妨设设A（2t，t）、B（-2t，-t）（t＞0）（2分）
由|AB|=得20t²=40，（3分）
所以（（5分），）
解得a=4，b=2（6分）．
（2）由消去y得3x²-8mx+4m²+12=0（7分）
动圆与椭圆没有公共点，当且仅当△=（-8m）²-4×3×（4m²+12）=16m²-144＜0或|m|＞5（9分）
解得|m|＜3或|m|＞5（10分）
动圆（x-m）²+y²=1与直线没有公共点当且仅当，即|m|＞（12分）解或（13分）
得m的取值范围为．（14分）
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．