Question

设F₁、F₂分别为椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点.

（Ⅰ）若椭圆上的点A（1，）到点F₁、F₂的距离之和等于4，求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设点是（Ⅰ）中所得椭圆C上的动点，求线段的中点的轨迹方程.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）=1

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）由椭圆上的点A到点F₁、F₂的距离之和是4，可得2a = 4，即a=2.                                              -------2分

又点A（1，）在椭圆上，因此=1，解得b²=3，于是c²=1.  -------4分

所以椭圆C的方程为=1.                                     ----6分

（Ⅱ）设椭圆C上的动点的坐标为（x₁，y₁），点的坐标为（x，y）.

由（Ⅰ）知，点F₁的坐标为                            -----8分

则， 即x₁=2x+1 y₁=2y.                      ----10分

因此=1，即为所求的轨迹方程     -----12分