题目内容
数列{an}和{bn}满足an=
(b1+b2+…+bn)（n=1，2，3…），求证{bn}为等差数列的充要条件是{an}为等差数列．
| 1 | n |
分析：先证必要性：若{bn}为等差数列，设首项b1，公差d，由题意能导出an+1-an=
，{an}为是公差为
的等差数列．再证充分性若{an}为等差数列，设首项a1，公差d，则能导出bn+1-bn=2d，即{bn}是公差为等差数列．
| d |
| 2 |
| d |
| 2 |
解答：证明：必要性若{bn}为等差数列，设首项b1，公差d
则an=
(nb1+
d)=b1+
d
∵an+1-an=
，∴{an}为是公差为
的等差数列
充分性若{an}为等差数列，设首项a1，公差d
则b1+b2+…+bn=n[a1+（n-1）d]=dn2+（a1-d）
nb1+b2+…+bn-1=d（n-1）2+（a1-d）（n-1），（n≥2）
∴bn=2dn+（a1-2d），（n≥2）
当n=1时，b1=a1也适合
∵bn+1-bn=2d，∴{bn}是公差为2d的等差数列
则an=
| 1 |
| n |
| n(n-1) |
| 2 |
| n-1 |
| 2 |
∵an+1-an=
| d |
| 2 |
| d |
| 2 |
充分性若{an}为等差数列，设首项a1，公差d
则b1+b2+…+bn=n[a1+（n-1）d]=dn2+（a1-d）
nb1+b2+…+bn-1=d（n-1）2+（a1-d）（n-1），（n≥2）
∴bn=2dn+（a1-2d），（n≥2）
当n=1时，b1=a1也适合
∵bn+1-bn=2d，∴{bn}是公差为2d的等差数列
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意证明充要性的证明步骤．
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