题目内容
已知椭圆
的中心为坐标原点
，一个长轴端点为
，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，若直线
与
轴交于点
，与椭圆交于不同的两点
，且
。（14分）
(1)求椭圆的方程；
(2)求实数
的取值范围。
【答案】
（1）
（2）-1<m<
或
<m<1
【解析】
试题分析：（1）∵一个长轴端点为
，所以
，且焦点在y轴上，
因为短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，所以
，
又因为
，所以
，所以椭圆方程为.
（2）(1)当直线
斜率不存在时，不符题意，斜率为0时显然也不符题意；
设
，
由
，
∴
，
设
，
，
，
所以
，
，
所以
，所以
， 消去
得
，
又
，∴
，
∴
， ∴
<0， ∴-1<m<或<m<1.
考点：本小题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系.
点评：求解直线与圆锥曲线的位置关系时，免不了要联立直线方程和圆锥曲线方程，此时一般运算量比较大，综合考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.
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