题目内容
已知椭圆的中心为坐标原点，斜率为1且过椭圆右焦点F（2，0）的直线交椭圆于A，B两点，
+
与
=(3，-1)共线，则该椭圆的长半轴长为
．
| OA |
| OB |
| a |
| 6 |
| 6 |
分析：设椭圆方程为
+
=1，与直线AB的方程消去y得到关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理算出x1+x2=
．由
+
与
=(3，-1)共线，得3（y1+y2）+（x1+x2）=0，结合直线AB方程解出x1+x2=3，代入前面的式子得到关于a、b的方程组，解之可得a、b之值，即可得到该椭圆的长半轴长．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 4a2 |
| a2+b2 |
| OA |
| OB |
| a |
解答：解：设椭圆方程为
+
=1（a＞b＞0）
∵直线AB的斜率为1且过椭圆右焦点F（2，0），
∴直线AB的方程为y=x-2，
代入椭圆方程消去y，化简得（a2+b2）x2-4a2x+4a2-a2b2=0．
令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1•x2=
．
∵
+
=（x1+x2，y1+y2），
+
与
=(3，-1)共线，
∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，
结合y1=x1-2且y2=x2-2，化简得3（x1+x2-4）+（x1+x2）=0，解之得x1+x2=3．
即
=3，解之得a2=3b2．
又∵a2-b2=c2=4，∴a2-
a2=4，解之得a=
，即该椭圆的长半轴长为
．
故答案为：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∵直线AB的斜率为1且过椭圆右焦点F（2，0），
∴直线AB的方程为y=x-2，
代入椭圆方程消去y，化简得（a2+b2）x2-4a2x+4a2-a2b2=0．
令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
| 4a2 |
| a2+b2 |
| 4a2-a 2b2 |
| a2+b2 |
∵
| OA |
| OB |
| OA |
| OB |
| a |
∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，
结合y1=x1-2且y2=x2-2，化简得3（x1+x2-4）+（x1+x2）=0，解之得x1+x2=3．
即
| 4a2 |
| a2+b2 |
又∵a2-b2=c2=4，∴a2-
| 1 |
| 3 |
| 6 |
| 6 |
故答案为：
| 6 |
点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的长半轴的值．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、向量共线的条件和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．
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