Question

如图，在四面体ABCD中，二面角A-CD-B的平面角为60°，AC⊥CD，BD⊥CD，且AC=CD=2BD，点E、F分别是AD、BC的中点．
（Ⅰ）求作平面α，使EF?α，且AC∥平面α，BD∥平面α；
（Ⅱ）求证：EF⊥平面BCD．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取DC的中点G，连接EG，FG，则平面EFG即所做平面α，利用三角形的中位线证明AC∥EG，BD∥FG，即可证得AC∥平面α，BD∥平面α；
（Ⅱ）证明CD⊥平面EFG，可得∠EGF为二面角A-CD-B的平面角，在△EGF中，由余弦定理得EF=FG，从而可得∠EFG=90°，进而可知EF⊥平面BCD．
解答：证明：（Ⅰ）取DC的中点G，连接EG，FG，则平面EFG即所做平面α
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴EG，FG分别为△ACD，△BCD的中位线，
∴AC∥EG，BD∥FG
∵AC?平面α，BD?平面α，EG?平面α，FG?平面α
∴AC∥平面α，BD∥平面α．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC∥EG，BD∥FG，
∵AC⊥CD，BD⊥CD
∴EG⊥CD，FG⊥CD．
∵EG∩FG=G．
∴CD⊥平面EFG
∵EF?平面EFG
∴CD⊥EF
可知∠EGF为二面角A-CD-B的平面角，∠EGF=60°．
在△EGF中，EG=2FG，∠EGF=60°，由余弦定理得EF=FG，
又由正弦定理得∠EFG=90°
∵GF∩CD=G，GF?面BCD
∴EF⊥平面BCD．
点评：本题考查线面平行，考查线面垂直，解题的关键是掌握线面平行、线面垂直的判定方法，属于中档题．