Question

如图，过点P（1，5）作直线l，与直线a：y=-

3

x+2

3

、直线b：x=2分别交于A、B两点，M为直线a与直线b的交点，则△ABM面积的最小值为

 

．

Answer 1

分析：易得M（2，0），当AB平行于x轴时，A（2-

5 3

3

，5）、B（2，5），|AB|=

5 3

3

，S_△ABM为

25 3

6

，当AB斜率存在，设直线AB的方程为 y-5=k （x-1），将AB的方程分别与直线a、直线b的方程联立，可得A，B坐标，再求|AB|弦长和点M到直线AB的距离，由三角形面积公求解．

解答：解：易得M（2，0），当AB平行于x轴时，A（2-

5 3

3

，5）、B（2，5），|AB|=

5 3

3

S_△ABM为

25 3

6

，
由题意知，AB斜率存在，设AB斜率为k，则直线AB的方程为 y-5=k （x-1），
将 AB的方程分别与直线a、直线b的方程联立，可得A（

k+2 3 -5

k+ 3

，

3 k+5 3

k+ 3

），B（2，k+5），
|AB|=

|5+K| 1+K2

k+ 3

，点M到直线AB的距离为：d=

|7-k|

1+k2

S△ABM=

1

2

|AB|•d=

k2-k+35

k+ 3

≥10-2

3

点评：本题主要考查用几何法几三角形的面积，涉及到弦长公式，点到直线的距离等问题．