题目内容

一个四棱锥的三视图如图所示.

(1)求这个四棱锥的全面积及体积;
(2)求证:PA⊥BD;
(3)在线段PD上是否存在一点Q,使二面角Q-AC-D的平面角为30°?若存在,求
|DQ|
|DP|
的值;若不存在,说明理由.
(1)由已知的三视图可得该棱锥的底面棱长为2,侧面高为
7

则棱锥的底面积S=2×2=4,侧面积S=4×
1
2
×2
7
=4
7

∴棱锥的表面积S表面=4+4
7

又∵棱锥的高h=
7
2
-12
=
6

∴棱锥的体积V=
1
3
•S•h=
1
3
•4•
6
=
4
6
3

证明:(2)连接BD,AC交点为O,连接PO
则O为正四棱锥在底面ABCD上的投影
∴PO⊥底面ABCD
∴PO⊥BD
又∵棱锥的底面ABCD为正方形
∴AC⊥BD
又∵PO∩AC=0
∴BD⊥平面PAC,
又∵PA?平面PAC,
∴PA⊥BD;
(3)由三视图可知,BC=2,PA=2
2
,假设存在这样的D点
因为AC⊥OQ,AC⊥OD,
所以∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角
△PDO中,PD=2
2
,OD=
2
,则∠PDO=60°,
△DQO中,∠PDO=60°,且∠QOD=30°.
所以DP⊥OQ,所以OD=
2
,QD=
2
2

|DQ|
|DP|
=
1
4

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