题目内容
一个四棱锥的三视图如图所示.

(1)求这个四棱锥的全面积及体积;
(2)求证:PA⊥BD;
(3)在线段PD上是否存在一点Q,使二面角Q-AC-D的平面角为30°?若存在,求
的值;若不存在,说明理由.

(1)求这个四棱锥的全面积及体积;
(2)求证:PA⊥BD;
(3)在线段PD上是否存在一点Q,使二面角Q-AC-D的平面角为30°?若存在,求
|DQ| |
|DP| |
(1)由已知的三视图可得该棱锥的底面棱长为2,侧面高为
则棱锥的底面积S底=2×2=4,侧面积S侧=4×
×2
=4
∴棱锥的表面积S表面=4+4
又∵棱锥的高h=
=
∴棱锥的体积V=
•S底•h=
•4•
=
证明:(2)连接BD,AC交点为O,连接PO
则O为正四棱锥在底面ABCD上的投影
∴PO⊥底面ABCD
∴PO⊥BD
又∵棱锥的底面ABCD为正方形
∴AC⊥BD
又∵PO∩AC=0
∴BD⊥平面PAC,
又∵PA?平面PAC,
∴PA⊥BD;
(3)由三视图可知,BC=2,PA=2
,假设存在这样的D点
因为AC⊥OQ,AC⊥OD,
所以∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角
△PDO中,PD=2
,OD=
,则∠PDO=60°,
△DQO中,∠PDO=60°,且∠QOD=30°.
所以DP⊥OQ,所以OD=
,QD=
=

7 |
则棱锥的底面积S底=2×2=4,侧面积S侧=4×
1 |
2 |
7 |
7 |
∴棱锥的表面积S表面=4+4
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又∵棱锥的高h=
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6 |
∴棱锥的体积V=
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1 |
3 |
6 |
4
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3 |
证明:(2)连接BD,AC交点为O,连接PO
则O为正四棱锥在底面ABCD上的投影
∴PO⊥底面ABCD
∴PO⊥BD
又∵棱锥的底面ABCD为正方形

∴AC⊥BD
又∵PO∩AC=0
∴BD⊥平面PAC,
又∵PA?平面PAC,
∴PA⊥BD;
(3)由三视图可知,BC=2,PA=2
2 |
因为AC⊥OQ,AC⊥OD,
所以∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角
△PDO中,PD=2
2 |
2 |
△DQO中,∠PDO=60°,且∠QOD=30°.
所以DP⊥OQ,所以OD=
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|DQ| |
|DP| |
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