Question

一直线被两直线l₁：4x+y+6=0，l₂：3x-5y-6=0截得线段的中点是P点，当P点分别为（0，0），（0，1）时，求此直线方程．

Answer 1

解：当P点为（0，0）时，设直线方程为y=kx，
设该直线与直线l₁交点横坐标为a，则交点坐标为（a，ka），
代入直线l₁得：4a+ka+6=0①，
由该直线被两直线l₁：4x+y+6=0，l₂：3x-5y-6=0截得线段的中点是（0，0），
根据中点坐标公式得另一交点为（-a，-ka），代入直线l₂得：3（-a）-5（-ka）-6=0②，
联立①②，解得k=-，
所以直线方程为：y=-x即x+6y=0；
当P点为（0，1）时，设直线方程为y=mx+1，
设该直线与直线l₁交点横坐标为b，则交点坐标为（b，mb+1），
代入直线l₁得：4b+mb+7=0③，
由该直线被两直线l₁：4x+y+6=0，l₂：3x-5y-6=0截得线段的中点是（0，1），
根据中点坐标公式得另一交点为（-b，1-mb），代入直线l₂得：3（-b）-5（1-mb）-6=0④，
联立③④，解得m=-，
所以直线方程为：y=-x+1即x+2y-2=0．
综上，当P点分别为（0，0），（0，1）时，所求直线方程分别为x+6y=0，x+2y-2=0．
分析：当P点坐标为（0，0）时，设所求直线的方程为y=kx，又设该直线直线l₁交点横坐标为a，代入直线方程可得纵坐标为ka，把交点坐标代入直线l₁得到关于a与k的方程，记作①，然后由P和刚才的交点坐标，利用中点坐标公式表示出另一交点的坐标，把另一交点坐标代入直线l₂得到关于a与k的另一方程，记作②，联立①②，即可求出k的值，得到所求直线的方程；
当P坐标为（0，1）时，同理可得所求直线的方程．
点评：此题考查学生灵活运用中点坐标公式化简求值，理解两直线交点的意义，会利用待定系数法求直线的解析式，是一道中档题．