题目内容

已知函数

(I)求函数的最小值;

(II)对于函数定义域内的任意实数,若存在常数,使得不等式都成立,则称直线是函数的“分界线”.

设函数,试问函数是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程.若不存在请说明理由.

 

【答案】

(I);(II)函数存在“分界线”,方程为

【解析】

试题分析:(I)首先求函数的定义域,解方程可能的极值点,进一步得的单调性,最后根据导函数在零点附近的变号情况求的最小值;(II)函数的图象在处有公共点.设函数存在“分界线”,方程为,由对任意恒成立,确定常数,从而得“分界线”的方程为,再证明时也恒成立,最后确定函数的“分界线”就是直线

试题解析:(I)         

所以上单调递减,上单调递增,      

所以.      

(II)由,可知函数的图象在处由公共点.    

设函数存在“分界线”,方程为

应有时恒成立,即时恒成立,

于是,得

则“分界线”的方程为   

,则

,所以上单调递增,上单调递减,

时,函数取得最大值

时恒成立.        

综上所述,函数存在“分界线”,方程为        

考点:1、应用导数求函数极值(最值);2、应用导数研究函数的性质.

 

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