题目内容
已知函数
(I)求函数的最小值;
(II)对于函数和定义域内的任意实数,若存在常数,使得不等式和都成立,则称直线是函数和的“分界线”.
设函数,,试问函数和是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程.若不存在请说明理由.
【答案】
(I);(II)函数和存在“分界线”,方程为.
【解析】
试题分析:(I)首先求函数的定义域,解方程得可能的极值点,进一步得的单调性,最后根据导函数在零点附近的变号情况求的最小值;(II)函数和的图象在处有公共点.设函数和存在“分界线”,方程为,由对任意恒成立,确定常数,从而得“分界线”的方程为,再证明在时也恒成立,最后确定函数和的“分界线”就是直线.
试题解析:(I)
令得,
所以在上单调递减,上单调递增,
所以.
(II)由,可知函数和的图象在处由公共点.
设函数和存在“分界线”,方程为,
应有在时恒成立,即在时恒成立,
于是,得,
则“分界线”的方程为
记,则
令得,所以在上单调递增,上单调递减,
当时,函数取得最大值,
即在时恒成立.
综上所述,函数和存在“分界线”,方程为
考点:1、应用导数求函数极值(最值);2、应用导数研究函数的性质.
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