题目内容

如图:已知P是正方形ABCD所在平面外一点,点P在平面ABCD内的射影O是正方形的中心,PO=OD=a,E是PD的中点
(1)求证:PD⊥平面AEC
(2)求直线BP到平面AEC的距离
(3)求直线BC与平面AEC所成的角.
分析:(1)由PO⊥面ABCD,O为正方形ABCD的中心,可得PA=PC=CD=DA,结合E是PD的中点,及等腰三角形三线合一,可得PD⊥CE,PD⊥AE,进而由线面垂直的判定定理得到PD⊥平面AEC
(2)由三角形中位线定理可得OE∥PB,由线面平行的判定定理可和PB∥面AEC,即直线PB与平面AEC的距离为P点到面AEC的距离,结合(1)中结论,可得PE长即为所求
(3)AD∥BC PD⊥面AEC,故∠EAD为直线BC与面AEC所成的角,结合(1)中结论可求出大小.
解答:证明:(1)∵PO⊥面ABCD,O为正方形ABCD的中心
∴PA=PB=PC=PD=AB=BC=CD=DA
∵E为PD的中点
∴PD⊥CE,PD⊥AE
又∵AE∩CE=E
∴PD⊥面AEC
解:(2)∵O、E是中点
∴OE∥PB
∴PB∥面AEC
直线PB与平面AEC的距离为P点到面AEC的距离
∵PD⊥面AEC
∴PE为P点到面AEC的距离为
2
2
a

(3)AD∥BC  PD⊥面AEC
∴∠EAD为直线BC与面AEC所成的角为30°
点评:本题考查的知识点是点,线,面间的距离计算,直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,是空间线面关系及夹角,距离是综合应用,难度中档.
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