题目内容
【题目】对于函数、
、
,如果存在实数
使得
,那么称
为
、
的和谐函数.
(1)已知函数,
,
,试判断
是否为
、
的和谐函数?并说明理由;
(2)已知为函数
,
的和谐函数,其中
,若方程
在
上有解,求实数
的取值范围.
【答案】(1)是
、
的和谐函数(2)
【解析】
试题分析:(1)h(x)是、
的和谐函数,存在a=-1,b=1,设
,利用新定义判断即可.(2)解法一:方程
在x∈[3,9]上有解,即log3(9x)+tlog3(3x)=0在x∈[3,9]上有解,设m=log3x,x∈[3,9],则m∈[1,2],原问题可以转化关于m的方程(1+t)m+(t+2)=0在m∈[1,2]上有解,令g(m)=(1+t)m+(t+2)通过g(1)g(2)≤0,求解即可.解法二:log3(9x)+tlog3(3x)=0,化简得:2+log3x+t(1+log3x)=0,原式可转化为方程
在x∈[3,9]区间上有解,即求函数
在x∈[3,9]的值域,通过分离常数法,求解即可
试题解析:(1) 是
、
的生成函数,因为存在
使
设,则
,
所以,
所以是
、
的和谐函数.
(2) 解法一:依题意,由方程在
上有解,即
在
上有解,
化简得:
设,
, 则
,即
原问题可以转化关于的方程
在
上有解,
令
由题意得:, 解得
.
综上:
(2) 解法二:,化简得:
因为,所以
,
原式可转化为方程 在
区间上有解
即求函数在
的值域
令,因为
由反比例函数性质可得 ,函数的值域为
所以实数的取值范围
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