Question

已知：M={a|函数y=2sinax在[]上是增函数}，N={b|方程3^-|x-1|-b+1=0有实数解}，设D=M∩N，且定义在R上的奇函数在D内没有最小值，则m的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：先确定出集合MN的范围，求出集合D的范围．再根据在D内没有最小值，对函数的最小值进行研究，可先求其导数，利用导数研究出函数的单调性，确定出函数的最小值在区间D的左端点取到即可，由于直接研究有一定困难，可将函数变为f（x）==，构造新函数h（x）=，将研究原来函数没有最小值的问题转化为新函数没有最大值的问题，利用导数工具易确定出新函数的最值，从而解出参数m的取值范围．
解答：解：∵M={a|函数y=2sinax在[]上是增函数，可得且a＞0，即，解得a，故M={a|a}
∵N={b|方程3^-|x-1|-b+1=0有实数解}，所以可得N={b|1＜b≤2}
∴D=M∩N=（1，]
∵是定义在R上的奇函数
∴f（0）=0可得n=0
∴f（x）=，又在D内没有最小值
∴f（x）==，
若m≤0，可得函数f（x）在D上是减函数，函数在右端点处取到最小值，不合题意
若m＞0，令h（x）=，则在D内没有最小值可转化为h（x）在D内没有最大值，下对h（x）在D内的最大值进行研究：
由于h′（x）=1-，令h′（x）＞0，可解得x＞，令h′（x）＜0，可解得x＜，由此知，函数h（x）在（0，）是减函数，在（，+∞）上是增函数，
当≥时，即m≥时，函数h（x）在D上是减函数，不存在最大值，符合题意
当≤1时，即m≤1时，函数h（x）在D上是增函数，存在最大值h（），不符合题意
当1＜＜时，即1＜m＜时，函数h（x）在（1，）是减函数，在（，）上是增函数，必有h（1）＞h（）成立，才能满足函数h（x）在D上没有最大值，即有1+m＞+，解得m＞，符合题意
综上讨论知，m的取值范围是m＞，
故答案为m＞
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，三角函数的周期求法及对三角函数图象特征的理解，指数函数的值域及集合的运算．考查了转化的思想及分类讨论的思想，计算的能力，本题综合性强涉及到的知识点较多，属于综合题中的难题．