题目内容

有下列命题：①函数y=cos(x+
π
2
)是偶函数；②直线x=
π
8
是函数y=sin(2x+
π
4
)图象的一条对称轴；③函数y=sin(x+
π
6
)在(-
π
2
，
π
3
)上是单调增函数；④(
2π
3
，0)是函数y=tan(x+
π
3
)图象的对称中心．其中正确命题的序号是
 
．（把所有正确的序号都填上）
分析：先利用诱导公式化简函数y=cos(x+
π
2
)，再判断其奇偶性；然后利用y=sinx的对称轴是使函数值等于1时的x的值，其单调区间是【-
π
2
+2kπ，
π
2
+2kπ，k∈N+】来判断②③，另外正切函数的对称中心是使函数值为0的x的值，可判断④．
解答：解：①y=cos(x+
π
2
)=sin（-x）=-sinx，所以①为奇函数；②y=sinx的对称轴是x=
π
2
+kπ，令2x+
π
4
=
π
2
+kπ，x=
π
8
+
kπ
2
，当k=0时，x=
π
8
，所以②正确；③y=sin(x+
π
6
)的递增区间为-
π
2
+2kπ≤x+
π
6
≤
π
2
+2kπ，得-
2π
3
+2kπ≤ x ≤
π
3
+ 2kπ，（-
π
2
，
π
3
）在该区间范围内，所以③正确；④y=tan(x+
π
3
)的对称中心为x+
π
3
=kπ，当k=1时，x=
2π
3
，所以④正确，故答案为②③④．
点评：判断三角函数的奇偶性，对称，单调区间等问题是本章的热点考点，解答这类问题的关键是关键是熟记正弦，余弦与正切函数的变换规律．如正弦函数y=sinx是奇函数，余弦函数y=cosx是偶函数，y=sinx的对称中心是使函数值等于0时的x的值等知识点，考查综合应用知识的能力．
练习册系列答案
相关题目
关于函数f（x）=sin2x-cos2x有下列命题：
①函数y=f（x）的周期为π；
②直线x=
π
4
是y=f（x）的一条对称轴；
③点(
π
8
，0)是y=f（x）的图象的一个对称中心；
④将y=f（x）的图象向左平移
π
4
个单位，可得到y=
2
sin2x的图象．
其中真命题的序号是
①③
①③
．（把你认为真命题的序号都写上）
关于函数f（x）=lg
x2+1|x|
（x≠0，x∈R）有下列命题：
①函数y=f（x）的图象关于y 轴对称；
②在区间（-∞，0）上，函数y=f（x）是减函数；
③在区间（1，+∞）上，函数f（x）是增函数．
其中正确命题序号为
①③
①③
．
有下列命题：
①函数y=cos（x-
π
4
）cos（x+
π
4
）的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；
②函数y=
x+3
x-1
的图象关于点（-1，1）对称；
③关于x的方程ax2-2ax-1=0有且仅有一个实数根，则实数a=-1；
④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则非p：存在x∈R，使得sinx＞1．
其中所有真命题的序号是（　　）
关于函数f（x）=lg（|x|+1）（x∈R）有下列命题：
①函数y=f（x）的图象关于y轴对称；
②在区间（-∞，0）上，函数y=f（x）是增函数；
③函数f（x）的最小值为0．
其中正确命题序号为
①③
①③
．
关于函数f（x）=sin2x-cos2x有下列命题：
①函数y=f（x）的周期为π；                
②直线x=
π
4
是y=f（x）图象的一条对称轴；
③点(
π
8
，0)是y=f（x）图象的一个对称中心；
④(-
π
8
，
3π
8
)是函数y=f（x）的一个单调递减区间．
其中真命题的序号是
①③
①③
．

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