Question

如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BDE，FB=．
（1）证明：平面BEF⊥平面BDF；
（2）求二面角F-DE-B的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证平面BEF⊥平面BDF，只需要在平面BEF中找出平面BDF的一条垂线，即EB⊥平面BDF；
（2）过C作CG⊥DE，垂足为G，连接FG，根据FC⊥平面BDE，可得FG⊥DE，所以∠FGC为二面角F-DE-B的平面角，故可求二面角F-DE-B的正切值．
解答：（1）证明：∵AC为直径，点E为弧AC的中点
∴EB⊥BC
∵FC⊥平面BDE，EB?平面BDE
∴FC⊥EB
∵BC∩FC=C
∴EB⊥平面BDF；
∵EB?平面BEF
∴平面BEF⊥平面BDF；
（2）解：过C作CG⊥DE，垂足为G，连接FG
∵FC⊥平面BDE，
∴FG⊥DE
∴∠FGC为二面角F-DE-B的平面角

∵
∴FC=2a
∵EB=a，BD=2a，CD=a，EB⊥BD，CG⊥DE
∴
∴
∴二面角F-DE-B的正切值为．
点评：本题以线面垂直为载体，考查面面垂直，考查面面角，解题时，正确运用面面垂足的判定定理，作出面面角是关键