Question

如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED，FB=

5

a．
（1）证明：EB⊥FD；
（2）求点B到平面FED的距离．

Answer 1

分析：（1）欲证EB⊥FD，而FD?平面BFD，可先证BE⊥平面BFD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BE与平面BFD内两相交直线垂直，而BE⊥AC，根据线面垂直的性质可知FC⊥BE，又FC、AC?平面BFD，FC∩AC=C，满足定理所需条件；
（2）利用勾股定理求出FC，根据直角三角形的面积公式求出S_△EBD与S_△EFD，根据等体积法可得

1

3

S_△EBD•FC=

1

3

S_△EFD•h建立方程解之即可求出点B到平面FED的距离．

解答：解：（1）证明：∵点E为弧AC的中点
∴∠ABE=

π

2

，即BE⊥AC
又∵FC⊥平面BED，BE?平面BED
∴FC⊥BE
又∵FC、AC?平面BFD，FC∩AC=C
∴BE⊥平面BFD而FD?平面BFD
∴EB⊥FD
（2）FC=

BF2-BC2

=

5a2-a2

=2a
S_△EBD=

1

2

BE•BD=

1

2

a•2a=a2
在Rt△FBE中，EF=

6

a
而FD=ED=

5

a
∴S_△FED=

1

2

FE•H_EF=

1

2

•

6

a•

5a2-( 6 a 2 )2

=

21

2

a2
由等体积法可知：

1

3

S_△EBD•FC=

1

3

S_△FED•h
解得：h=

4 21

21

a
即点B到平面FED的距离为

4 21

21

a

点评：本题主要考查了线面垂直的判定与性质、以及点到平面的距离的度量和等体积法的应用等有关知识，同时考查了推理能力、计算能力，转化与划归的思想，属于中档题．