题目内容
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S17＞0，S18＜0，则$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$，$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$，…，$\frac{{S}_{15}}{{a}_{15}}$中最大的项为（ ）| A． | $\frac{{S}_{7}}{{a}_{7}}$ | B． | $\frac{{S}_{8}}{{a}_{8}}$ | C． | $\frac{{S}_{9}}{{a}_{9}}$ | D． | $\frac{{S}_{10}}{{a}_{10}}$ |
分析 由题意可得a9＞0，a10＜0，由此可得$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$＞0，$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$＞0，…，$\frac{{S}_{9}}{{a}_{9}}$＞0，$\frac{{S}_{10}}{{a}_{10}}$＜0，$\frac{{S}_{11}}{{a}_{11}}$＜0，…，$\frac{{S}_{15}}{{a}_{15}}$＜0，再结合S1＜S2＜…＜S9，a1＞a2＞…＞a9，可得结论．
解答 解：∵等差数列{an}中，S17＞0，且S18＜0，即S17=17a9＞0，S18=9（a10+a9）＜0，
∴a10+a9＜0，a9＞0，∴a10＜0，∴等差数列{an}为递减数列，
故可知a1，a2，…，a9为正，a10，a11…为负；
∴S1，S2，…，S17为正，S18，S19，…为负，
则$\frac{{S}_{1}}{{a}_{1}}$＞0，$\frac{{S}_{2}}{{a}_{2}}$＞0，…，$\frac{{S}_{9}}{{a}_{9}}$＞0，$\frac{{S}_{10}}{{a}_{10}}$＜0，$\frac{{S}_{11}}{{a}_{11}}$＜0，…，$\frac{{S}_{15}}{{a}_{15}}$＜0，
又∵S1＜S2＜…＜S9，a1＞a2＞…＞a9，∴$\frac{{S}_{9}}{{a}_{9}}$最大，
故选：C．
点评 本题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，属中档题．
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