Question

在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一只巨大汽油罐．已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功．每次射击命中的概率都是，每次命中与否互相独立．
（Ⅰ）求恰好射击5次引爆油罐的概率；
（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵每次命中与否互相独立．且每次射击命中的概率都是，
∴是一个独立重复试验，
记“恰好射击5次引爆油罐”的事件为事件A，
表示前四次有一次射中且第五次一定击中，
∴．
（Ⅱ）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5．
当ξ=2时，表示两枪都击中，
当ξ=3时，表示前两枪中有一枪击中且第三枪一定击中，
当ξ=4时，表示前三枪中有一枪击中且第四枪一定击中，
当ξ=5时，表示前四枪中有一枪击中且第五枪一定击中，
∴；
；
；
．
∴ξ的分布列为
．
∴所求ξ的数学期望为．
分析：（Ⅰ）由题意知每次命中与否互相独立．且每次射击命中的概率都是，本试验是一个独立重复试验，恰好射击5次引爆油罐表示前四次有一次射中且第五次一定击中，根据独立重复试验公式得到结果．
（2）射击次数ξ的可能取值为2，3，4，5．当ξ=2时，表示两枪都击中，当ξ=3时，表示前两枪中有一枪击中且第三枪一定击中，当ξ=4时，表示前三枪中有一枪击中且第四枪一定击中，当ξ=5时，表示前四枪中有一枪击中且第五枪一定击中，写出分布列．
点评：考查运用概率知识解决实际问题的能力，注意满足独立重复试验的条件，解题过程中判断概率的类型是难点也是重点，这种题目高考必考，应注意解题的格式．