题目内容
【题目】已知椭圆
：
的左焦点为
.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设
为坐标原点，
为直线
上一点，过
作
的垂线交椭圆于
，
.当四边形
是平行四边形时，求四边形的面积.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）由题意可得，
，
，再结合
求出
，即可得椭圆
的离心率；
（2）设
，由
求出直线
方程，设
，
，联立直线与椭圆的方程并消元，由韦达定理得到根与系数的关系，由四边形
是平行四边形得到
，从而解出
，即可计算四边形的面积.
解：（1）由题意可得，，，
又由，
，解得
，
椭圆的离心率
.
（2）设点的坐标为，
则直线
的斜率
，
当
时，直线的斜率
，直线的方程是
.
当
时，直线的方程是
，也满足方程，
设，，
将直线的方程与椭圆的方程联立，得
，
消去
，得
，
其判别式
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，即
，
，
，
解得
，
，
，
平行四边形的面积为
.
【题目】2019年，中国的国内生产总值（GDP）已经达到100亿元人民币，位居世界第二，这其中实体经济的贡献功不可没，实体经济组织一般按照市场化原则运行，某生产企业一种产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本
（元）与生产该产品的数量
（千件）有关，经统计得到如下数据：
根据以上数据绘制了如下的散点图
现考虑用反比例函数模型
和指数函数模型
分别对两个变量关系进行拟合，为此变换如下：令
，则
，即与
也满足线性关系，令
，则
，即
也满足线线关系，这样就可以使用最小二乘法求得非线性回归方程，已求得用指数函数模型拟合的回归方程为
与的相关系数
，其他参考数据如下（其中
）
（1）求指数函数模型和反比例函数模型中关于的回归方程；
（2）试计算与的相关系数
，并用相关系数判断：选择反比例函数和指数函数两个模型中哪一个拟合效果更好（精确到0.01）？
（3）根据（2）小题的选择结果，该企业采用订单生产模式（即根据订单数量进行生产，产品全部售出），根据市场调研数据，该产品定价为100元时得到签到订单的情况如下表：
订单数（千件） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
概率 |
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已知每件产品的原来成本为10元，试估算企业的利润是多少？（精确到1千元）
参考公式：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别是：
相关系数：
【题目】某种新型嫁接巨丰葡萄，在新疆地区种植一般亩产不低于5千斤，产量高的达到上万斤.受嫁接年限的影响，其产量一般逐年衰减，若在新疆地区平均亩产量低于5千斤，则从新嫁接.以下是新疆某地区从2014年开始嫁接后每年的平均亩产量y（单位：千斤）的数据表：
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
平均亩产量y | 8.2 | 7.8 | 7.2 | 6.6 | 5.4 |
（1）求y关于x的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归直线方程，预计哪一年开始从新嫁接.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
.
