题目内容

已知点C(x,y)(x>0,y>0)在抛物线f(x)=4-x2上(如图),过C作CDx轴交抛物线于另一点D,设抛物线与x轴相交于A,B两点,试求x为何值时,梯形ABCD的面积最大,并求出面积的最大值.
令4-x2=0,得A(-2,0),B(2,0),设C(x,y),又由对称性知D(-x,y).
设梯形面积为g(x),则梯形的面积g(x)=
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(4+2x)•y=(2+x)(4-x2)=-x3-2x2+4x+8

g′(x)=-3x2-4x+4=-(3x-2)(x+2),令g′(x)=0,因x>0,得x=
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0<x<
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时,g′(x)>0,g(x)单调递增;当x>
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时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
∴当x=
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时,g(x)有最大值,最大值为g(
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3
)=
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