题目内容

已知a>0.且a≠1,数列{an}是首项为a,公比也为a的等比数列,令bn=anlgan(n∈N*).

(1)

求数列{bn}的前n项的和Sn

(2)

若数列{bn}中的每一项总小于它后面的项,求a的取值范围.

答案:
解析:

(1)

  解析:由题设an=a·an+1=an,则bn=anlgan=anlgan=nanlga

  从而Sn=alga+2a2lga+3a3lga+…+nanlga=(1+2a+3a2+…+nan-1)alga.

  令Tn=1+2a+3a2+…+nan-1,则aTn=a+2a2+…+(n-1)an-1+nan

  两式相减得(1-a)Tn=1+a+a2+…+an+1-nan-nan

  因为a≠1,所以Tn,所以Sn

(2)

  设bk+1>bk(k∈N*),则(k+1)ak+1lga>kaklga.因为ak>0,所以[k(a-1)+a]lga>0.

  当a>1时,lga>0,由k(a-1)+a>0,解得k>

  当0<a<1时,lga<0,由k(a-1)+a<0,解得k>

  为了使不等式对一切正整数都成立,只需要小于k的最小值1.

  当a>1时,<1恒成立;当0<a<1时,<1,解得0<a<

  综上所述,a>1或0<a<

  点评:(1)求Tn=1+2a+3a2+…+nan-1的和的思路为错位相消求和.错位相消求和的最基本的形式为数列{an}是等差数列,数列{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前n项的和.(2)在解不等式bk+1>bk(k∈N*)时,首先要看成是关于k的不等式,求出k的解集k>,因对任意非零自然数k均成立,再

转化为关于a的不等式,求出a的取值范围.


练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网