Question

（2009•江苏一模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足an+Sn=3-

8

2n

，设bn=2n•an．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}中最大项；
（3）求证：对于给定的实数λ，一定存在正整数k，使得当n≥k时，不等式λS_n＜b_n恒成立．

Answer 1

分析：（1）利用递推关系，再写一式，两式相减，可得2nan-2n-1an-1=4，利用bn=2n•an，即可证明数列{b_n}是等差数列，从而求出数列{a_n}的通项公式；
（2）确定数列{a_n•b_n}的通项，从而可得数列的单调性，即可求最大项；
（3）利用错位相减法求数列的和，确定相应的值域，即可证得结论．

解答：（1）证明：∵an+Sn=3-

8

2n

，
∴n≥2时，an-1+Sn-1=3-

8

2n-1

两式相减可得2an-an-1=

8

2n-1

-

8

2n

∴2an-an-1=

4

2n-1

∴2nan-2n-1an-1=4
∵bn=2n•an
∴b_n-b_n-1=4
∵n=1时，a1+S1=3-

8

21

，∴a1=-

1

2

∴b1=21•a1=-1
∴数列{b_n}是以-1为首项，4为公差的等差数列
∴bn=4n-5，an=

4n-5

2n

，
（2）解：a_n•b_n=

(4n-5)2

2n

令f（n）=

(4n-5)2

2n

，则

f(n+1)

f(n)

=

(4n-1)2

2(4n-5)2

令

(4n-1)2

2(4n-5)2

＜1，则16n²-72n+49＞0
∴n＞5时，

f(n+1)

f(n)

＜1，n＜5时，

f(n+1)

f(n)

＞1
∴数列从第一项到第四项，单调递增，从第五项开始，单调递减
所以最大项是第四项

121

16

；
（3）证明：∵an=

4n-5

2n

∴数列{a_n}的前n项和为S_n=(-1)×

1

2

+3×

1

22

+…+(4n-5)×

1

2n

∴

1

2

S_n=(-1)×

1

22

+…+(4n-9)×

1

2n

+(4n-5)×

1

2n+1

两式相减可得

1

2

S_n=(-1)×

1

2

+4×

1

22

+…+4×

1

2n

-(4n-5)×

1

2n+1

∴S_n=3-(4n+3)×

1

2n

∴S₁=-

1

2

∴S_n的值域[-

1

2

，3），
∵b_n=4n-5，∴b_n的值域[-1，+∞），
∴对于给定的实数λ，一定存在正整数k，使得当n≥k时，不等式λS_n＜b_n恒成立．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查数列的单调性，考查学生分析解决问题的能力，能力要求强，有难度．