Question

设集合M={a，1}，N={b，1，2}，M⊆N，a，b∈{1，2，3，…，8}，且在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对（a，b）所表示的点中任取一个，其落在圆x²+y²=r²内的概率恰为

1

3

，则r²的所有可能的整数值是

30，31，32

．

Answer 1

分析：根据题意，根据集合中元素的互异性，分①a=2与②a=b两种情况讨论（a，b），列举可得（a，b）的情况数目，计算可得每种情况对应a²+b²的值，分析可得，（a，b）表示的12个点中有4个点在圆的内部，8个点在圆的外部或圆上，又由a²+b²的值，分析可得r²的取值范围，进而可得r²的所有可能的整数值，即可得答案．

解答：解：根据题意，分2种情况讨论（a，b）：
①、若a=2，则b可以为3、4、5、6、7、8，共6种情况，
即有序实数对（a，b）有（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8），共6种情况；
②、若a=b，则a和b可取的值为3、4、5、6、7、8，共6种情况，
此时有序实数对（a，b）有（3，3）、（4，4）、（5，5）、（6，6）、（7，7）、（8，8），共6种情况；
则（a，b）的情况共有6+6=12种，
而对应a²+b²的值为13、20、29、40、53、68、18、32、50、72、98、108，也有12种情况，
如果点（a，b）落在圆x²+y²=r²内的概率恰为

1

3

，
则有4个点在圆的内部，8个点在圆的外部或圆上，
又由a²+b²的值，则29＜r²≤32，故r²的所有可能的整数值为30、31、32；
故答案为30、31、32．

点评：本题考查概率的应用，注意借助集合中元素的互异性，由此分析点（a，b）的情况数目．