题目内容

(本题满分10分)一只小船以10 m/s的速度由南向北匀速驶过湖面,在离湖面高20米的桥上,一辆汽车由西向东以20 m/s的速度前进(如图),现在小船在水平面P点以南的40米处,汽车在桥上Q点以西30米处(其中PQ⊥水面),求小船与汽车间的最短距离(不考虑汽车与小船本身的大小).

 

 

 

 

 

【答案】

 

解:设经过时间t汽车在A点,船在B点,(如图)…………1分

则AQ=30–20t,BP=40–10t,PQ=20,且有AQ⊥BP,PQ⊥AQ,PQ⊥PB,

                                             …………3分

 设小船所在平面为,AQ,QP确定平面为β,记∩β=l,由AQ∥,AQβ得AQ∥l,

又PQ⊥水面,即PQ⊥,作AC∥PQ,则AC⊥.连结CB,则AC⊥CB .

再由AQ⊥BP,CP∥AQ得CP⊥BP,                                        …………5分

∴AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+(40–10t)2+(30–20t)2

=100[5(t–2)2+9],                                                      …………8分

t=2时AB最短,最短距离为30 m.                                      …………10分

 

【解析】略

 

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