Question

给定项数为的数列，其中.

若存在一个正整数，若数列中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列是“k阶可重复数列”，

例如数列

因为与按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”.

（Ⅰ）分别判断下列数列

①      ②

是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；

（Ⅱ）若数为的数列一定是 “3阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由；

（III）假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值.

Answer 1

（Ⅰ）①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0,0,1,1,0;  不是“5阶可重复数列  （Ⅱ）m的最小值是11. （III）

解析:

（Ⅰ）记数列①为，因为与按次序对应相等，所以数列①是“5阶可重复数列”，重复的这五项为0,0,1,1,0;                         

记数列②为，因为、、、、 、没有完全相同的，所以不是“5阶可重复数列”.                                                                 ……………….3分

（Ⅱ）因为数列的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有种不同的情形.若m＝11，则数列中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，即项数为11的数列一定是“3阶可重复数列”；若m＝10，数列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3阶可重复数列”；则时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列.所以，要使数列一定

是“3阶可重复数列”，则m的最小值是11.                        ……………….8分

（III）由于数列在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，即在数列的末项后再添加一项，则存在，

使得与按次序对应相等，或与按次序对应相等，                                                

如果与不能按次序对应相等，那么必有，，使得、与按次序对应相等.

此时考虑和，其中必有两个相同，这就导致数列中有两个连续的五项恰按次序对应相等，从而数列是“5阶可重复数列”，这和题设中数列不是“5阶可重复数列”矛盾！所以与按次序对应相等，从而

……………….14分