Question

某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售40天全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场的销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图1、图2、图3所示，其中图1中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图2中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系；图3中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）
（1）分别写出国内市场的日销售量f（t），国外市场的日销售量g（t）与第一批产品A的上市时间t的关系式；
（2）每一批产品A上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少？

Answer 1

分析：（1）观察函数的图象知：图1是一条折线，其解析式写成分段函数的形式；图2是抛物线，其解析式是二次函数的形式；由图象得函数的解析式即可；
（2）先由题意得出这家公司的日销售利润Q（t）的解析式，再利用导数或基本不等式求出此函数的最大值，从而得到第一批产品A上市后，这家公司的日销售利润在第几天最大，最大值为多少万元．

解答：解：（1）由图象得函数的解析式分别为：
f(t)=

2t (0≤t≤30) -6t+240 (30＜t≤40)

g(t)=-

3

20

t2+6t(0≤t≤40)．
（2）设每件产品A的销售利润为q（t），
则q(t)=

3t (0≤t≤20) 60 (20＜t≤40)

，
从而这家公司的日销售利润Q（t）的解析式为：
Q(t)=

- 9 20 t3+24t2 (0≤t≤20) -9t2+480t (20＜t≤30) -9t2+14400 (30＜t≤40)

．
①当0≤t≤20时，Q'（t）=-

27

20

t2+48t=

t(20×48-27t)

20

≥0
∴Q（t）在区间[0，20]上单调递增，此时Q_max（t）=Q（20）=6000
②当20＜t≤30时Q(t)=-9(t-

80

3

)2+6400，t∈N⁺，
t=27时Q_max（t）=Q（27）=6399
③当30＜t≤40Q（t）＜Q（30）=6300
综上所述Q_max（t）=Q（27）=6399
第一批产品A上市后，这家公司的日销售利润在第27天最大，最大值为6399万元．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、分段函数、函数单调性的应用、导数的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．