Question

设方程2^x+x+2=0的实根为α，方程log₂x+x+2=0的实根为β，函数f（x）=（x+α）（x+β）+1，则f（0），f（1），f（2）的大小关系是（　　）

Answer 1

分析：利用函数y=2^x与y=log₂x互为反函数，其图象关于直线y=x对称；由直线y=-x-2与y=x垂直，直线y=-x-2上的点关于直线y=x对称即可得出答案．

解答：解：作出函数y=-x-2，y=2^x，y=log₂x的图象，
由图象可以看出：0＜β＜1，α＜-2．
由直线y=-x-2与y=x垂直，∴直线y=-x-2上的点关于直线y=x对称．
另一方面，函数y=2^x与y=log₂x互为反函数，其图象关于直线y=x对称，
∴α+β=-2．
∵f（0）=αβ+1，f（1）=α+β+αβ+2，
f（2）=2（α+β）+αβ+5，
∴f（1）-f（0）=α+β+1=-1＜0，f（2）-f（0）=2（α+β+2）=0，
∴f（1）＜f（0）=f（2）．
故选B．

点评：熟练掌握互为反函数的其图象关于直线y=x对称、直线y=-x-2与y=x垂直得到直线y=-x-2上的点关于直线y=x对称是解题的关键．