题目内容
已知椭圆
，直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点．
（1）试探究：点O到直线AB的距离是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）求△AOB面积S的最小值．
解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x1=x2，y1=-y2，
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴
∴x1x2+y1y2=0，∴x12-y12=0
∵x12+4y12=4，∴|x1|=|y1|=
∴原点O到直线的距离为d=|x1|=
②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消元可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0
∴x1+x2=-
，x1x2=
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴
∴x1x2+y1y2=0，∴（1+k2）-km×+m2=0
∴5m2=4（k2+1）
∴原点O到直线的距离为d=
=
综上，点O到直线AB的距离为定值；
（2）由（1）可知，在直角△OAB中，点O到直线AB的距离|OH|=，设∠OAH=θ，则∠BOH=θ
∴|OA|=
，|OB|=
∴|OA||OB|=
∴2θ=
，即
时，|OA||OB|取得最小值为
∴△AOB面积S的最小值为
分析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），分类讨论：①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性，可求原点O到直线的距离；②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及点到直线的距离公式，即可得到结论；
（2）利用三角函数表示出|OA|，|OB|，进而可求|OA||OB|的最小值，从而可求△AOB面积S的最小值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆的综合，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．
①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x1=x2，y1=-y2，
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴
∴x1x2+y1y2=0，∴x12-y12=0
∵x12+4y12=4，∴|x1|=|y1|=
∴原点O到直线的距离为d=|x1|=
②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消元可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0
∴x1+x2=-
，x1x2=∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴
∴x1x2+y1y2=0，∴（1+k2）
-km×+m2=0∴5m2=4（k2+1）
∴原点O到直线的距离为d=
=综上，点O到直线AB的距离为定值；
（2）由（1）可知，在直角△OAB中，点O到直线AB的距离|OH|=
，设∠OAH=θ，则∠BOH=θ∴|OA|=
，|OB|=∴|OA||OB|=
∴2θ=
，即时，|OA||OB|取得最小值为∴△AOB面积S的最小值为
分析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），分类讨论：①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性，可求原点O到直线的距离；②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及点到直线的距离公式，即可得到结论；
（2）利用三角函数表示出|OA|，|OB|，进而可求|OA||OB|的最小值，从而可求△AOB面积S的最小值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆的综合，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．
练习册系列答案
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过点
，离心率
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