题目内容

已知椭圆 $数学公式$ ，直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点．
（1）试探究：点O到直线AB的距离是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）求△AOB面积S的最小值．

解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴ $\text{[math]}$
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁²-y₁²=0
∵x₁²+4y₁²=4，∴|x₁|=|y₁|= $\text{[math]}$
∴原点O到直线的距离为d=|x₁|= $\text{[math]}$
②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消元可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
∴x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴ $\text{[math]}$
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴（1+k²） $\text{[math]}$ -km× $\text{[math]}$ +m²=0
∴5m²=4（k²+1）
∴原点O到直线的距离为d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
综上，点O到直线AB的距离为定值；
（2）由（1）可知，在直角△OAB中，点O到直线AB的距离|OH|= $\text{[math]}$ ，设∠OAH=θ，则∠BOH=θ
∴|OA|= $\text{[math]}$ ，|OB|= $\text{[math]}$
∴|OA||OB|= $\text{[math]}$
∴2θ= $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，|OA||OB|取得最小值为 $\text{[math]}$
∴△AOB面积S的最小值为 $\text{[math]}$
分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分类讨论：①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性，可求原点O到直线的距离；②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及点到直线的距离公式，即可得到结论；
（2）利用三角函数表示出|OA|，|OB|，进而可求|OA||OB|的最小值，从而可求△AOB面积S的最小值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆的综合，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．

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称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究△OAB的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．