题目内容
已知椭圆
,直线l与椭圆C相交于A、B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点.
(1)试探究:点O到直线AB的距离是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由;
(2)求△AOB面积S的最小值.
解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
①当直线AB斜率不存在时,由椭圆的对称性可知x1=x2,y1=-y2,
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点,∴
∴x1x2+y1y2=0,∴x12-y12=0
∵x12+4y12=4,∴|x1|=|y1|=
∴原点O到直线的距离为d=|x1|=
②当直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,代入椭圆方程,消元可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0
∴x1+x2=-
,x1x2=
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点,∴
∴x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)
-km×
+m2=0
∴5m2=4(k2+1)
∴原点O到直线的距离为d=
=
综上,点O到直线AB的距离为定值;
(2)由(1)可知,在直角△OAB中,点O到直线AB的距离|OH|=
,设∠OAH=θ,则∠BOH=θ
∴|OA|=
,|OB|=
∴|OA||OB|=
∴2θ=
,即
时,|OA||OB|取得最小值为
∴△AOB面积S的最小值为
分析:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),分类讨论:①当直线AB斜率不存在时,由椭圆的对称性,可求原点O到直线的距离;②当直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,代入椭圆方程,利用韦达定理及点到直线的距离公式,即可得到结论;
(2)利用三角函数表示出|OA|,|OB|,进而可求|OA||OB|的最小值,从而可求△AOB面积S的最小值.
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查圆与椭圆的综合,联立方程,利用韦达定理是解题的关键.
①当直线AB斜率不存在时,由椭圆的对称性可知x1=x2,y1=-y2,
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点,∴

∴x1x2+y1y2=0,∴x12-y12=0
∵x12+4y12=4,∴|x1|=|y1|=

∴原点O到直线的距离为d=|x1|=

②当直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,代入椭圆方程,消元可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0
∴x1+x2=-


∵以AB为直径的圆D经过坐标原点,∴

∴x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)


∴5m2=4(k2+1)
∴原点O到直线的距离为d=


综上,点O到直线AB的距离为定值;
(2)由(1)可知,在直角△OAB中,点O到直线AB的距离|OH|=

∴|OA|=


∴|OA||OB|=

∴2θ=



∴△AOB面积S的最小值为

分析:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),分类讨论:①当直线AB斜率不存在时,由椭圆的对称性,可求原点O到直线的距离;②当直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,代入椭圆方程,利用韦达定理及点到直线的距离公式,即可得到结论;
(2)利用三角函数表示出|OA|,|OB|,进而可求|OA||OB|的最小值,从而可求△AOB面积S的最小值.
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查圆与椭圆的综合,联立方程,利用韦达定理是解题的关键.

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