Question

设F₁（-c，0），F₂（c，0）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，P是以|F₁F₂|为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，则该椭圆的离心率为

6

3

．

Answer 1

分析：先根据题意和圆的性质可判断出△PF₁F₂为直角三角形，根据∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，推断出∠PF₁F₂=75°，进而可求得PF₁和PF₂，利用椭圆的定义求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．

解答：解：由题意△PF₁F₂为直角三角形，且∠P=90°，∠PF₁F₂=75°，F₁F₂=2c，
∴|PF₁|=2ccos75°，|PF₂|=2ccos15°，
由椭圆的定义知，|PF₁|+|PF₂|=2c（cos75°+cos15°）=2c

(sin15°+cos15°)2

=

6

c=2a，
∴离心率为e=

c

a

=

c

6 2 c

=

6

3

．
故答案为：

6

3

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，考查学生的计算能力，属于中档题．