Question

一束光线过点M(1-2

2

，-2

2

)射到x轴上，再反射到圆C：（x-1）²+（y+4）²=8上，
（1）当反射光线经过圆心时，求反射光线所在的直线方程的一般式；
（2）求反射点的横坐标的变化范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：M点关于x轴的对称点为，由反射光线的反向延长线经过与圆的圆心（1，-4）可得直线的方程．
（2）当反射光线的斜率存在时，设其方程为：kx-y-k+2

2

k+2

2

=0，当反射光线与圆相切时为反射点的最大范围，由点到直线的距离公式可得k的值，再检验斜率不存在时直线也与圆相切，进而得到答案．

解答：解：（1）由题意可得：M点关于x轴的对称点为M′(1-2

2

，2

2

)，
因为反射光线的反向延长线经过M′(1-2

2

，2

2

)与圆的圆心（1，-4），
所以反射光线所在的直线的方程为：y+4=

2 2 +4

-2 2

(x-1)，整理可得直线的一般式方程为：(1+

2

)x+y+3-

2

=0．
（2）当反射光线的斜率存在时，设其方程为：y-2

2

=k(x-1+2

2

)，
整理可得：kx-y-k+2

2

k+2

2

=0．
由题意可得：当反射光线与圆相切时为反射点的最大范围，
所以有圆心到反射光线的距离等于半径，即d=2

2

=

|k+4-k+2 2 k+2 2 |

1+k2

，
解得：k=-1，此时反射光线的方程为x+y-1=0，
所以反射点为（1，0）．
当斜率不存在时，经检验也与圆相切，则反射点的横坐标的取值范围是[1-2

2

，1]．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系，以及直线方程的一般式与两点式，考查点到直线的距离公式等知识点，此题综合性较强属于中档题．