Question

6．已知$\overrightarrow{a}$=（2cosx，-1），$\overrightarrow{b}$=（2sin（x+$\frac{π}{6}$），1），f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
（1）求f（x）的解析式以及最小正周期；
（2）求f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）把向量的坐标代入数量积公式，化简可得f（x）的解析式，利用周期公式求周期；
（2）由x的范围得到相位的范围，则三角函数的最值可求．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（2cosx，-1），$\overrightarrow{b}$=（2sin（x+$\frac{π}{6}$），1），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$4sin（x+\frac{π}{6}）cosx-1$=$4（sinxcos\frac{π}{6}+cosxsin\frac{π}{6}）cosx-1$
=$4（\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx）cosx-1$=$\sqrt{3}sin2x+2co{s}^{2}x-1$=$\sqrt{3}sin2x+cos2x$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，∴$2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，
则f（x）_max=2，f（x）_min=-1．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数的图象和性质，训练了三角函数值的求法，是中档题．